最小二乘法是什么意思（最小二乘法计算基本原理）

最小二乘法是一种数学优化技术，它可以用于找到一组数据的最佳拟合直线或曲线。最小二乘法的基本思想是选择一条直线或曲线，使得数据点到该直线或曲线的距离的平方和最小。

最小二乘法计算线性回归方程的基本原理如下：

假设我们有一组数据点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$，我们希望找到一条直线$y=ax+b$，使得这条直线能够最好地拟合这些数据点。

我们可以通过计算每个数据点到直线的距离的平方和来衡量直线的拟合程度。距离的平方和可以表示为：

$S=\sum_{i=1}^n{(y_i-(ax_i+b))^2}$

我们的目标是找到$a$和$b$的值，使得$S$最小。这可以通过对$S$求导并令其等于零来实现。

对$S$求导得到：

$\frac{\partial S}{\partial a}=-2\sum_{i=1}^n{(y_i-(ax_i+b))(x_i)}$

$\frac{\partial S}{\partial b}=-2\sum_{i=1}^n{(y_i-(ax_i+b))}$

令上面两个导数等于零，得到两个方程：

$-2\sum_{i=1}^n{(y_i-(ax_i+b))(x_i)}=0$

$-2\sum_{i=1}^n{(y_i-(ax_i+b))}=0$

这两个方程可以表示为一个线性方程组：

$\begin{cases}

a\sum_{i=1}^n{x_i^2}-\sum_{i=1}^n{ax_i}y_i-\sum_{i=1}^n{bx_i}=0\\

a\sum_{i=1}^n{x_i}-\sum_{i=1}^n{y_i}-\sum_{i=1}^n{b}=0

\end{cases}$

这个方程组可以通过矩阵运算来求解，得到$a$和$b$的值。

最小二乘法求线性回归方程的公式为：

$a=\frac{\sum_{i=1}^n{x_iy_i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i}\sum_{i=1}^n{y_i}}{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n{x_i})^2}$

$b=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{(y_i-\hat{y_i})}$

其中，$\hat{y_i}=ax_i+b$是数据点$(x_i,y_i)$在直线上的预测值。

这就是最小二乘法计算线性回归方程的基本原理和公式。