邮箱百科 - 解决邮箱申请注册的问题
已解决

最小二乘法是什么意思(最小二乘法计算基本原理)

来自网友最小二乘法计算公式提问 提问时间:2023-11-30 07:15:07阅读次数:0

最佳答案

最小二乘法是什么意思(最小二乘法计算基本原理)内容都在下面,请亲们详细阅读,祝您开心!

最小二乘法是一种数学优化技术,它可以用于找到一组数据的最佳拟合直线或曲线。最小二乘法的基本思想是选择一条直线或曲线,使得数据点到该直线或曲线的距离的平方和最小。

最小二乘法计算线性回归方程的基本原理如下:

假设我们有一组数据点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$,我们希望找到一条直线$y=ax+b$,使得这条直线能够最好地拟合这些数据点。

我们可以通过计算每个数据点到直线的距离的平方和来衡量直线的拟合程度。距离的平方和可以表示为:

$S=\sum_{i=1}^n{(y_i-(ax_i+b))^2}$

我们的目标是找到$a$和$b$的值,使得$S$最小。这可以通过对$S$求导并令其等于零来实现。

对$S$求导得到:

$\frac{\partial S}{\partial a}=-2\sum_{i=1}^n{(y_i-(ax_i+b))(x_i)}$

$\frac{\partial S}{\partial b}=-2\sum_{i=1}^n{(y_i-(ax_i+b))}$

令上面两个导数等于零,得到两个方程:

$-2\sum_{i=1}^n{(y_i-(ax_i+b))(x_i)}=0$

$-2\sum_{i=1}^n{(y_i-(ax_i+b))}=0$

这两个方程可以表示为一个线性方程组:

$\begin{cases}

a\sum_{i=1}^n{x_i^2}-\sum_{i=1}^n{ax_i}y_i-\sum_{i=1}^n{bx_i}=0\\

a\sum_{i=1}^n{x_i}-\sum_{i=1}^n{y_i}-\sum_{i=1}^n{b}=0

\end{cases}$

这个方程组可以通过矩阵运算来求解,得到$a$和$b$的值。

最小二乘法求线性回归方程的公式为:

$a=\frac{\sum_{i=1}^n{x_iy_i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i}\sum_{i=1}^n{y_i}}{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n{x_i})^2}$

$b=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{(y_i-\hat{y_i})}$

其中,$\hat{y_i}=ax_i+b$是数据点$(x_i,y_i)$在直线上的预测值。

这就是最小二乘法计算线性回归方程的基本原理和公式。

最小二乘法是什么意思(最小二乘法计算基本原理)

本文最小二乘法是什么意思(最小二乘法计算基本原理)的内容就到这里,感谢大家的支持。

99%的人还看了

版权申明

本文"最小二乘法是什么意思(最小二乘法计算基本原理) ":http://www.shhksgs.cn/3478.html 内容来自互联网,请自行判断内容的正确性。若本站收录的信息无意侵犯了贵司版权,请给我们来信(19581529@qq.com),我们会及时处理和回复